Vincent Brévart
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Statistiques sur un grand nombre de parties

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En faisant tourner mes programmes de belote et bridge (jeux par équipe) en automatique sur plusieurs nuits, j'ai pu tracer des courbes de gain sur des nombres de parties assez grands (plus de 4000 par expérience). Les statistiques obtenues sont conformes à ce qu'on doit attendre. Sur un grand nombre de parties, les deux équipes NS (Nord-Sud) et EO (Est-Ouest) gagnent un nombre de fois pratiquement égal. Elles se rapprochent toutes les deux de 50% de gains. Et l'écart relatif entre leurs gains (le rapport entre le nombre de parties qui les séparent et le total des parties jouées) tend vers 0.

Exemple de courbe montrant l'écart relatif entre les gains NS et EO :

Après 10 parties : gains NS = 7, gains EO = 3, écart absolu = 4, écart relatif = 40%
Après 630 parties : gains NS = 320, gains EO = 310, écart absolu = 10, écart relatif = 1,58%
Après 4390 parties : gains NS = 2191, gains EO = 2199, écart absolu = 8, écart relatif = 0,18%
L'écart relatif tend vers 0. Les deux pourcentages de gain tendent vers 50%.

Courbe des écarts absolus sur la même expérience que ci-dessus :

Cette courbe des écarts absolus entre NS et EO (le nombre de parties qui les séparent) correspond bien à ce que les utilisateurs recherchent en général : une bonne variété des gains, plusieurs passages à 0 (égalité entre NS et EO), et de faibles écarts tout au long de l'expérience (rarement plus de 30 parties d'écart).

Toutefois, ce n'est pas le seul type de courbe. Il peut arriver qu'une équipe prenne une avance de plus de 50 parties, et dans ce cas il devient de plus en plus difficile (mais pas impossible) pour l'autre équipe de la rattraper. Si dans vos statistiques vous voyez que cela vous arrive et qu'en NS vous ne parveniez plus à rattraper EO, vous pouvez toujours mémoriser vos pourcentages dans un fichier de texte, et remettre tout à zéro.

Si vous aimez réfléchir sur les phénomènes aléatoires, au risque de perdre certaines de vos illusions, lisez les curiosités de l'aléatoire exposées ci-dessous. Sinon, fermez les yeux et passez vite à la page suivante !

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Les curiosités de l'aléatoire

Nous sommes certainement nombreux à penser que si le tirage des donnes est vraiment aléatoire, toute période où l'une des équipes est favorisée doit être suivie d'une période plus ou moins équivalente où l'autre équipe est à son tour favorisée. Sinon, comment l'équilibre entre les deux équipes pourrait-il s'établir ? Mais certaines de mes expériences montrent des courbes plus irrégulières, comme celle-ci :

Ou cette autre courbe, qui vous inquiétera sûrement plus que la précédente :

Notez qu'il s'agit ici des courbes montrant l'écart absolu entre les deux équipes (le nombre de parties gagnées qui les sépare). L'écart relatif, lui, tend bien vers 0, et les gains de chaque équipe tendent vers 50%. Mais une équipe est toujours en dessous des 50%, et l'autre au dessus. Et il semble que celle qui a du retard ne parviendra jamais à rattraper celle qui est en tête. Est-ce là le signe d'un mauvais aléatoire ? Hé bien, pas du tout. Les mathématiciens et statisticiens nous l'affirment haut et fort. Ce sont nos idées intuitives qui sont erronées !

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Un événement aléatoire n'influe pas sur son suivant

C'est pourtant une idée répandue que les événements aléatoires du passé influent sur ceux du futur. Témoin cette hypothèse classique qui va certainement vous faire réfléchir encore et encore :

Si avec une pièce non truquée nous avons réussi à tirer 10 fois Pile de suite, nous sommes intuitivement convaincus que le Face a énormément de chances de sortir au onzième tirage. Or, c'est faux. Au onzième tirage, le Pile a toujours 1 chance sur 2 de sortir. Ce qui est extraordinaire et rare, ce sont les dix Piles précédents. Mais le onzième Pile, lui, est tout à fait banal !

Notre esprit confond probablement le fait de tirer 11 fois Pile de suite, qui est rare, avec le fait de tirer Pile après en avoir tiré 10 de suite. Pourtant, ce n'est pas du tout la même chose...

En résumé, dans un jeu de cartes comme la belote ou le bridge, avec des joueurs de même niveau, les lois statistiques nous disent que si les donnes sont aléatoires, un équilibre approximatif des gains entre les deux équipes devrait se faire. Mais elles ne disent pas au bout de combien de temps. Elles indiquent que plus les deux équipes joueront, et plus augmentera la probabilité de voir leur écart relatif tendre vers 0, et leurs pourcentages de gain se rapprocher des 50%. Mais en ce qui concerne l'écart absolu, rien n'est sûr. Il peut repasser à zéro (les deux équipes seront à égalité parfaite), ou il peut ne jamais y repasser. Il peut même continuellement augmenter.

Dans son ouvrage Les certitudes du hasard, le professeur Marcel Boll mentionne le résultat contre-intuitif suivant :

Si un million de Parisiens avaient décidé de jouer à pile ou face en 1789 jusqu'à ce qu'ils aient eu un nombre égal de « pile » et de « face », à raison d'un lancer par seconde, 500 000 d'entre eux auraient cessé de jouer dès la deuxième seconde, mais… plusieurs seraient encore en train de jouer aujourd'hui !

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